Damit in Zahnradgetrieben eine kontinuierliche gleichförmige Übertragung der Drehbewegung gewährleistet ist, müssen die Zahnflanken bestimmte Bedingungen erfüllen. Diese sind im Allgemeinen Verzahnungsgesetz formuliert. Es lautet:
Zwei Flanken, die sich in ständiger Berührung befinden (vn1 = vn2), übertragen die Bewegung mit konstantem Übersetzungsverhältnis i, wenn ihre gemeinsame Berührungsnormale stets durch den Wälzpunkt C geht, der die Verbindungslinie der beiden Radmittelpunkte 01 – 02 im umgekehrten Verhältnis der Winkelgeschwindigkeiten beider Räder teilt.
Allgemeines Verzahnungsgesetz
Zahnradgetriebe sind gleichförmig übersetzende Getriebe, d.h. das Verhältnis von An- und Abtriebsdrehzahl bleibt immer konstant.
Damit diese kontinuierliche gleichförmige Drehbewegungsübertragung gewährleistet wird, müssen die Zahnflanken entsprechend ausgebildet sein. Welche Bedingungen hierfür aufgestellt werden müssen, soll im Folgenden erläutert werden.
In dem Beispiel berührt die Flanke des Rades a im Punkt Y die Flanke des getriebenen Rades b.
Rad 1 dreht sich mit der Winkelgeschwindigkeit wa um Oa, Rad 2 mit wb um Ob.
Der Punkt Y wird auch Eingriffspunkt genannt. In ihm haben die beiden Zahnflanken eine gemeinsame Tangente und eine gemeinsame Normale.
Die Geschwindigkeit des Punktes Y als Flankenpunkt des Rades a beträgt vYa = rYa · wa und als Flankenpunkt des Rades b vYb = rYb · wb.
Diese Geschwindigkeitsvektoren stehen jeweils senkrecht auf rYa und rYb und können in eine Normal- und eine Tangentialkomponente zerlegt werden. Die Bedingung dafür, dass beide Flanken in Berührung bleiben und nicht voneinander ablösen, wird nur erfüllt, wenn beide Normalkomponenten vna und vnb gleich groß sind.
Werden von den Punkten Oa und Ob auf die gemeinsame Normale die Lote gefällt, so entstehen die rechtwinkligen Dreiecke OaLaY und ObLbY, die den Geschwindigkeitsdreiecken ähnlich sind. Damit kann insgesamt abgeleitet werden:
Umfangsgeschwindigkeiten im Punkt Y:
vYa = wa · rYa
vYb = wb · rYb
Komponenten in Richtung der Eingriffsnormalen:
vna = wa · rTa
rTa = ra · cos α
vnb = wb · rTb
rTb = rb · cos α
Da nach Voraussetzung vna = vnb = vn ist, muss gelten:
wa · rTa = wb · rTb
wa / wb = rTb / rTa = i
Die Dreiecke OaLaC und ObLbC sind ähnlich, da ihre drei Seiten zueinander parallel sind. Dann ist auch
rb / ra = i
und
vt = ra · wa = rb · wb
das heißt: C ist der Wälzpunkt und ra und rb sind die Wälzkreisradien. Die Normale im Berührungspunkt zweier Zahnflanken muss also den Achsabstand ra + rb im konstanten Übersetzungsverhältnis teilen. Das Gesetz heißt allgemeines Verzahnungsgesetz. Es lautet:
Die Normale im jeweiligen Berührungspunkt zweier Zahnflanken muss stets durch den Wälzpunkt C gehen.
Konstruktion von Gegenflanke und Eingriffslinie
Mit Hilfe des allgemeinen Verzahnungsgesetzes lässt sich zu jeder gegebenen Zahnflanke eine Gegenflanke bestimmen, die der Forderung nach gleichmäßiger Übertragung der Winkelgeschwindigkeit genügt. Dies wird an einem Beispiel verdeutlicht.
Die Normale im Punkt X1 der gegebenen Flanke schneidet den Wälzkreis W1 im Punkt X´1. Wird Rad 1 nun so weit gedreht, bis X´1 in den Wälzpunkt C kommt, so gelangt dabei der Punkt X1 nach X (Kreis durch X1 um O1; Kreisbogen mit X’1X um C). In dieser Stellung geht also die Normale im Punkt X1 des gegebenen Profils durch den Wälzpunkt, und im Punkt X muss sich nach dem Verzahnungsgesetz der Punkt X1 der gegebenen Flanke mit einem entsprechenden Punkt X2 der Gegenflanke decken, wobei die Normale der Gegenflanke ebenfalls durch C gehen muss. Um den Punkt X2 in der ursprünglichen (X1 entsprechenden) Stellung zu erhalten, muss das Rad 2 zurückgedreht werden, wobei auf dem Wälzkreis 2 der Bogen X´2 - C gleich dem Bogen X´1 - C gemacht werden muß. (Kreis durch X um O2; Kreisbogen mit CX = X’1X = X’2X um X´2). Im Punkt X kommen beim Wälzvorgang die Punkte X1 und X2 zum Eingriff, X ist also der Eingriffspunkt. Durch Wiederholung der Konstruktion für andere Punkte Y1, Z1 usw. der gegebenen Flanke ergeben sich die zugehörigen Punkte Y2, Z2 usw. und somit das Profil der Gegenflanke.
Gleichzeitig entstehen die entsprechenden Eingriffspunkte X, Y, Z usw. Die Verbindungslinie der Eingriffspunkte heißt die Eingriffslinie. Sie ist also der geometrische Ort aller aufeinander folgenden Berührungspunkte zweier Zahnflanken.
Die Form der Eingriffslinie hängt von der Profilform der Flanke ab. Zu jedem Flankenprofil gehört bei gegebenen Wälzkreisen eine ganz bestimmte Eingriffslinie und ein ganz bestimmtes Gegenprofil. Daraus folgt, dass umgekehrt zu einer gegebenen Eingriffslinie bei gegebenen Wälzkreisen ganz bestimmte Zahnflanken gehören. Von den vielen möglichen Formen von Eingriffslinien werden praktisch nur die einfachsten, das sind Kreis und Gerade, verwendet.