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Bild: B-Splines (Freihand-Kurven)

Definition

Ein B-Spline ist eine Funktion, die stückweise aus Polynomen besteht. Ein Spline hat die Ordnung r, wenn er stückweise aus Polynomen der Ordnung r besteht. Die Ordnung ist gleich dem Polynomgrad der B-Splines + 1.

Details

Bsp.: P(u) = 2 (u2 - 2u + 3) => Spline der Ordnung 3 (besteht stückweise aus Parabeln)

Bild: Details

Die rote Parabel ist im Knoten B tangentenstetig bzw. krümmungsstetig.

Im Knoten A ist sie dagegen NICHT tangentenstetig!

Spline der Ordnung 3, bestehend aus 4 Parabelabschnitten (Segmenten)

Knoten: Punkt an dem ein Parabelabschnitt endet und ein neuer beginnt (Spline ist beim Knoten A nicht tangentenstetig)

Erzeugung von Splines:

  • interpolierend (Spline geht exakt durch alle eingegebenen Knoten (Stützpunkte))
  • approximierend (Spline nähert sich den eingegebenen Punkten (Stützpunkten) an)
Bild: Detais

Varianten

Bild: Varianten

NURBS (Non Uniform Rational Basis Spline):

  • Am weitesten entwickelte Spline- Definition, die in CAD/CAM-Systemen Anwendung findet
  • Gewichtung der Stützpunkte bestimmt Kurvenverlauf
  • hohe Flexibilität bei der Steuerung des Kurvenverlaufs
  • geben analytische Geometrie (Regelgeometrie - Kegelschnitte) exakt wieder
  • können sowohl Freiformkurven als auch -flächen darstellen
  • eignen sich zur allgemeinen Darstellung beliebiger Formen
  • NURBS können modifiziert werden durch:
    • Ändern der Koordinaten der Polygonpunkte
    • Ändern der Knotenwerte
    • Ändern der Ordnung
    • Hinzufügen neuer Knotenpunkte
    • Ändern der Gewichtung der Polygonpunkte
    • Wegen ihren Modifizierungsmöglichkeiten werden NURBS selbst extremen Design-Anforderungen gerecht

Merkmale von NURBS

Bild: Merkmale von NURBS

Uniform B-Spline

Bild: Uniform B-Spline

0 ≤ u ≤ 1
alle Knotenabstände gleich (nur bei Ordnung 3!)

Non-Uniform-B-Spline

Bild: Non-Uniform-B-Spline

Nicht-Rationaler-B-Spline

Bild: Nicht-Rationaler-B-Spline

Alle Gewichte = 1

Rational-B-Spline

Bild: Rational-B-Spline

Gewichte: H=(1,1,1,0.2,1,1,1)

Weitere Erzeugungsmethoden für B-Splines und NURBS

Bild: Weitere Erzeugungsmethoden für B-Splines und NURBS

Übersicht:

  1. Umwandlung
  2. Verbinden von zwei vorhandenen B-Splines
  3. Kombinieren von zwei vorhandenen Kurven
  4. Offsetkurven mit variablem Abstand
  5. von Flächen abgeleitete Kurven:
    • Randkurven
    • Isoparametrische Kurven
    •  Projektionskurven
  6. Box-Splines

Umwandlung (aus analytischen Linienelementen oder 2D/3D-Splines)

Bild: Umwandlung

Verbinden von zwei vorhandenen B-Splines

Bild: Verbinden von zwei vorhandenen B-Splines

Kombinieren von zwei vorhandenen Kurven

Bild: Kombinieren von zwei vorhandenen Kurven

Offsetkurven mit variablem Abstand

Bild: Offsetkurven mit variablem Abstand

Von Flächen abgeleitete Kurven:

  • Randkurven
Bild: Randkurven
  • Isoparametrische Kurven
Bild: Isoparametrische Kurven
  • Projektionskurven
Bild: Projektionskurven

Box-Splines (erst in Entwicklung)

Besonderer mathematischer Spline mit speziellen Stetigkeits- und Differenzierbarkeitsbedingungen. Bei dieser Modellierungsart können entweder Kanten oder Punkte selektiert werden, die Flächen werden dabei automatisch der neuen Situation angeglichen.

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