Technische Darstellungslehre und Computer Aided Design > CAD/CAM-Systeme > Basiselemente > Erzeugen geometrischer Elemente für Kantenmodelle > Erzeugen von Freihandlinien (Splines) > B-Splines (Freihand-Kurven)

- Bild: B-Splines (Freihand-Kurven)
Definition
Ein B-Spline ist eine Funktion, die stückweise aus Polynomen besteht. Ein Spline hat die Ordnung r, wenn er stückweise aus Polynomen der Ordnung r besteht. Die Ordnung ist gleich dem Polynomgrad der B-Splines + 1.
Details
Bsp.: P(u) = 2 (u2 - 2u + 3) => Spline der Ordnung 3 (besteht stückweise aus Parabeln)

- Bild: Details
Die rote Parabel ist im Knoten B tangentenstetig bzw. krümmungsstetig.
Im Knoten A ist sie dagegen NICHT tangentenstetig!
Spline der Ordnung 3, bestehend aus 4 Parabelabschnitten (Segmenten)
Knoten: Punkt an dem ein Parabelabschnitt endet und ein neuer beginnt (Spline ist beim Knoten A nicht tangentenstetig)
Erzeugung von Splines:
- interpolierend (Spline geht exakt durch alle eingegebenen Knoten (Stützpunkte))
- approximierend (Spline nähert sich den eingegebenen Punkten (Stützpunkten) an)

- Bild: Detais

- Bild: Varianten
NURBS (Non Uniform Rational Basis Spline):
- Am weitesten entwickelte Spline- Definition, die in CAD/CAM-Systemen Anwendung findet
- Gewichtung der Stützpunkte bestimmt Kurvenverlauf
- hohe Flexibilität bei der Steuerung des Kurvenverlaufs
- geben analytische Geometrie (Regelgeometrie - Kegelschnitte) exakt wieder
- können sowohl Freiformkurven als auch -flächen darstellen
- eignen sich zur allgemeinen Darstellung beliebiger Formen
- NURBS können modifiziert werden durch:
- Ändern der Koordinaten der Polygonpunkte
- Ändern der Knotenwerte
- Ändern der Ordnung
- Hinzufügen neuer Knotenpunkte
- Ändern der Gewichtung der Polygonpunkte
- Wegen ihren Modifizierungsmöglichkeiten werden NURBS selbst extremen Design-Anforderungen gerecht

- Bild: Merkmale von NURBS

- Bild: Uniform B-Spline
0 ≤ u ≤ 1
alle Knotenabstände gleich (nur bei Ordnung 3!)
Non-Uniform-B-Spline

- Bild: Non-Uniform-B-Spline
Nicht-Rationaler-B-Spline

- Bild: Nicht-Rationaler-B-Spline
Alle Gewichte = 1
Rational-B-Spline

- Bild: Rational-B-Spline
Gewichte: H=(1,1,1,0.2,1,1,1)
Weitere Erzeugungsmethoden für B-Splines und NURBS

- Bild: Weitere Erzeugungsmethoden für B-Splines und NURBS
Übersicht:
- Umwandlung
- Verbinden von zwei vorhandenen B-Splines
- Kombinieren von zwei vorhandenen Kurven
- Offsetkurven mit variablem Abstand
- von Flächen abgeleitete Kurven:
- Randkurven
- Isoparametrische Kurven
- Projektionskurven
- Box-Splines
Umwandlung (aus analytischen Linienelementen oder 2D/3D-Splines)

- Bild: Umwandlung
Verbinden von zwei vorhandenen B-Splines

- Bild: Verbinden von zwei vorhandenen B-Splines
Kombinieren von zwei vorhandenen Kurven

- Bild: Kombinieren von zwei vorhandenen Kurven
Offsetkurven mit variablem Abstand

- Bild: Offsetkurven mit variablem Abstand
Von Flächen abgeleitete Kurven:

- Bild: Randkurven

- Bild: Isoparametrische Kurven

- Bild: Projektionskurven
Box-Splines (erst in Entwicklung)
Besonderer mathematischer Spline mit speziellen Stetigkeits- und Differenzierbarkeitsbedingungen. Bei dieser Modellierungsart können entweder Kanten oder Punkte selektiert werden, die Flächen werden dabei automatisch der neuen Situation angeglichen.