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Bild: Federarbeit zugbeanspruchter Federn

Die dargelegte Beziehung für die Federarbeit einer Zugstabfeder ergibt sich aus den nachfolgenden Betrachtungen. Dazu ist es zunächst zweckmäßig, die üblicherweise verwendete ebene Darstellung eines Zugstabes der Länge l, der bei Angriff der Kraft F um den Betrag S gedehnt wird, in eine räumliche Darstellung zu überführen und diese mit einem Koordinatensystem zu versehen.

Als Nächstes wird ein Volumelement dV des Zugstabes markiert und herausgezeichnet.

Das Volumelement dV besitzt die Länge dx, die Höhe d und die Breite dz. Infolge der angreifenden anteiligen Kraft dF wird das Volumenelement um den Betrag ds gedehnt. Der Zusammenhang zwischen der Kraft dF und der Verformung ds, d.h. die Federkennlinie des Volumelements ist linear. Die Federkennlinie des Volumelements und der Zugstabfeder sind gleich und somit auch die Federsteife. Die im Volumelement gespeicherte Energie bzw. die Federarbeit db ergibt sich auch hier aus der Fläche unter der Kennlinie. Sie beträgt dWf gleich df mal ds halbe.

Bild: Berechnungsansätze für die Federarbiet am Volumenelement

Alle weiteren Ableitungen beruhen auf Betrachtungen am Volumelement mit seiner Federkennlinie und der Auswertung bereits bekannter Zusammenhänge der Festigkeitslehre. In einem ersten Schritt werden in der Beziehung für die Federarbeit des Volumelements dW = dF mal ds / 2 die Größen dF und ds wie folgt ersetzt: für dF erhält man aus der Auswertung der Spannungsbeziehung am Volumelement einen Ausdruck, der die Zugspannung σz sowie die Querschnittsfläche dx mal dy des  Volumelements enthält. Die Substitution von ds erfolgt unter Zugrundelegung des Hockeschen-Gesetzes, wobei in der Beziehung für die Dehnung ε = Δl zu l anstelle der Größen Δl und für den Zugstab nun die Größen ds und dx des Volumenelements, d.h. also ε = ds nach dx zu berücksichtigen sind. Im zweiten Schritt wird dann aus der Federarbeit des Volumenelements auf die Federarbeit des Zugstabes geschlossen. Dies geschieht durch Integration über die einzelnen Ausdehnungsrichtungen des Zugstabes bzw. über sein Volumen. Da bei der Zugstabfeder jedes Volumenelement bis an die Grenze der Werkstofffestigkeit gleichmäßig ausgelastet wird, bezeichnet man deren Federarbeit, die nicht übertroffen werden kann, auch als optimale Federarbeit Wopt.

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