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Ein Körper nimmt eine bestimmte Lage im Raum ein und führt Bewegungen aus. Die Möglichkeit eines Körpers, eine Bewegung auszuführen wird als Freiheit bezeichnet. Der freie Körper im Raum besitzt sechs Bewegungsmöglichkeiten, also sechs Freiheiten (siehe Bild: Freiheitsgrade).

Bild: Freiheitsgrade

Diese Freiheiten sind die Translationen in x-, y- und z-Richtung und die Rotationen um die entsprechenden drei Achsen. Die Anzahl der möglichen Bewegungsfreiheiten wird als Freiheitsgrad f definiert. Der freie Körper im Raum hat also den Freiheitsgrad f = 6.

Die Realisierung einer technischen Funktion resultiert immer aus der Kopplung von Körpern. Im Nachfolgenden sollen nun Verbindungen von Körpern (Flächenpaarungen) betrachtet werden und welcher Freiheitsgrad sich daraus ergibt.

Bei beweglichen Paarungen (Gelenke, Lager, Führungen) muss mindestens in einer Richtung die Bewegung eingeschränkt sein, d.h. dass bei solchen Paarungen Freiheitsgrade von maximal f = 5 bis minimal f = 1 möglich sind. Liegt ein Freiheitsgrad von f=0 vor, ist keine Bewegung der Körper zueinander mehr möglich. Man spricht dann von einer starren Verbindung.

In der Konstruktion wird zunächst die Paarungsfähigkeit der zu verbindenden Flächen untersucht, an denen der körperliche Zusammenhang erfolgen soll. Die Einschränkung des Freiheitsgrades erfolgt also immer durch eine Fläche. Jede Einschränkung wird als Unfreiheiten bezeichnet. Eine gesperrte Freiheit f wird somit zur Unfreiheit u. Aufgabe des Konstrukteurs ist es also Unfreiheiten zu entwickeln und Freiheiten einzuschränken.

Die Flächenpaarungen sind so zu wählen, dass sie unmittelbar die funktionswichtigen Größen, wie z.B. Kräfte, Momente, Wärme, elektrischer Strom, übertragen können.

Das körperliche Zusammenbringen der einzelnen Elemente erfolgt durch Fügen. Die Fügerichtung oder der Fügebereich ist durch das verwendete Elementenpaar festgelegt.

Für die Betrachtung der idealen Elementepaarung werden die gepaarten Körper zunächst als starr angenommen. Es findet somit keine Deformation bei einer Berührung untereinander statt. Beide Körper besitzen stets eine ideale und fehlerfreie Geometrie und die Paarung beider Körper muss bei einer Bewegung immer erhalten bleiben. Bei der Betrachtung einer Paarung wird also immer von einer Berührung ausgegangen.

Bild: Ideales Elementepaar

Im Nachfolgenden soll auf die Kopplungen mechanischer Bauelemente etwas genauer eingegangen werden.

Das ideale Ergebnis in der Konstruktion wäre es, wenn nur Elemente gepaart würden, welche die gewünschten Unfreiheiten besitzen. Wird dies erreicht, ergibt sich, dass die Kosten bezüglich dieser Baugruppe minimal sind.

Die abgebildete Kugel hat die Möglichkeit, von den sechs möglichen Bewegungen fünf auszuführen. Das bedeutet, sie hat den Freiheitsgrad f = 5 und einen Grad der Unfreiheit von u = 1 (Translation in vertikaler Richtung).

Bild: Unfreiheiten von Paarungen (Kugel-Kugel, Kugel-Ebene)

Die Kugel im Bild (Darstellung links) besitzt zwei Unfreiheiten, weil zwei Translationen quer zur V-Nut und in vertikaler Richtung gesperrt sind.

Bei der Paarung Zylinder-Ebene (Darstellung rechts) ergeben sich ebenfalls zwei Unfreiheiten. Es ist hier eine Rotation um die vertikale Achse und eine Translation in vertikaler Richtung gesperrt.

Bild: Unfreiheiten von Paarungen (Kugel - V-Nut, Zylinder - Ebene)

Im Bild (Darstellung links) ist die Kugel nicht mehr fähig, translatorische Bewegungen auszuführen, sondern sie ist auf die rotatorischen beschränkt. Es liegen somit drei Unfreiheiten und drei Freiheiten vor. Bei der Paarung Ebene-Ebene (Darstellung rechts) sind zwei Rotationen und eine Translation gesperrt und somit liegt hier ebenfalls ein Freiheitsgrad von f = 3 vor.

Bild: Unfreiheiten von Paarungen (Kugel - Kegel, Ebene - Ebene)

Im Bild (Darstellung links) kann der Zylinder sich nur in einer Richtung bewegen und um eine Achse drehen. Damit sind vier Bewegungen gesperrt und der Freiheitsgrad beträgt f = 2 und der Grad der Unfreiheit u = 4.

Der gleiche Fall stellt sich bei der Paarung Zylinder-Bohrung (Darstellung rechts) dar.

Bild: Unfreiheiten von Paarungen (Zylinder - V-Nut, Zylinder - Bohrung)

Im Bild beträgt der Freiheitsgrad nur noch f = 1 und der Grad der Unfreiheit somit u = 5. Es sind alle translatorischen Bewegungen verhindert und es ist nur eine Rotation realisierbar. Der Kegel kann nur eine Bewegung um seine Symmetrieachse vollführen.

Bild: Unfreiheiten von Paarungen (Kegel - Kegelbohrung)
Tabelle: Übersicht über Unfreiheiten von Paarungen verschiedener Grundkörper
f u Paarung 2-D-Darstellung 3-D-Darstellung
zum VR-Modell gelangt man durch Anklicken der Grafik
Hinweis bei Darstellungsfehlern
5 1 Kugel-Kugel
Kugel-Ebene
4 2 Kugel-Nut
Zylinder-Ebene
3 3 Kugel-Kegel
Ebene-Ebene
2 4 Zylinder-Nut
Zylinder-Zylinder
1 5 Kegel-Kegel

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Das Bild zeigt, dass bei technischen Anwendungen Kombinationen von Paarungsflächen für bestimmte Funktionen erforderlich sind.
In diesem Beispiel wurden eine Zylinderfläche und eine Planfläche kombiniert.

Die Paarung Zylinder-Zylinder besitzt für sich betrachtet 4 Unfreiheiten (u = 4). Es ist nur noch die Drehung um die Symmetrieachse und eine Translation in axialer Richtung möglich.

Wenn die Paarung Ebene-Ebene für sich allein betrachtet wird, stellt man dort 3 Unfreiheiten fest (u = 3).

Bild: Überbestimmtheit einer Paarung

Beim nächsten Schritt werden die beiden Paarungen als Verknüpfung betrachtet. Es besteht außerdem die Forderung, dass sich die Welle nur drehen soll. Somit wird nur eine Freiheit (f = 1) für das gesamte Objekt als Zielsetzung angestrebt.

Die Summe aus Unfreiheiten und Freiheiten beträgt immer 6. Sind die Freiheiten für eine bestimmte Anordnung bekannt, kann man die Anzahl der zulässigen Unfreiheiten durch uzul = 6 - f bestimmen.

Da in diesem Fall nur eine Drehung zugelassen wird, beträgt die zulässige Unfreiheit für die Paarung der Welle und des Gestelles uzul = 5.

Für die Paarung von Körpern werden alle Paarungsflächen betrachtet und alle Unfreiheiten addiert. Im Beispiel besitzt die Paarung Zylinder-Zylinder u = 4 Unfreiheiten und die Paarung Ebene-Ebene u = 3 Unfreiheiten. Also hätte die Paarung sieben Unfreiheiten.

Vorher wurde festgestellt, dass für die einwandfreie Funktion der Baugruppe nur 5 Unfreiheiten erforderlich sind. Dies bedeutet, dass aus diesen überzähligen Unfreiheiten Forderungen für die Herstellung der Teile resultieren. So muss bei der Herstellung der Flächen, welche die Paarung Ebene-Ebene darstellen, garantiert werden, dass diese Flächen z.B. rechtwinklig zur Drehachse stehen.

Wenn 5 zulässige Unfreiheiten erwünscht sind, jedoch 7 vorhanden sind, werden die 2 überzähligen als Überbestimmtheiten bezeichnet. Zu deren Bestimmung ist die Gleichung ü = uvorh- uzul anzuwenden.

Damit kann über diese Lagerung ausgesagt werden, dass sie zweifach überbestimmt ist.

Somit ist die Lösung mit Zwang behaftet, d.h. es werden an die Fertigung bestimmte Forderungen gestellt. Das bedeutet aber gleichzeitig, dass die Herstellung teuerer wird, weil die Fertigungstoleranzen sehr stark eingeschränkt werden müssen. Würde dies nicht geschehen, so könnte bei ungenauer Fertigung eine Abweichung, wie in Abbildung b dargestellt, entstehen. Diese kann unter Umständen zu einer Funktionsuntüchtigkeit der ganzen Paarung führen.

Anhand einiger Beispiele (Bild) soll analysiert werden, wie viele Unfreiheiten und Freiheiten existieren.

Bild: Beispiele zu Elementepaaren

Zur Aufrechterhaltung der Paarung in Darstellung a muss eine Kraft wirken oder ein Gegenlager vorhanden sein. Es handelt sich um eine Paarung Kegel-Kegel. Sie besitzt 5 Unfreiheiten.

Die Paarung in Darstellung b wird durch eine Kugelkalotte gebildet. Sie hat die Möglichkeit, in 3 Richtungen rotieren zu können und besitzt damit 3 Freiheiten und 3 Unfreiheiten. Es handelt sich um eine Paarung Kugel-Kugel.

Im abgebildeten Beispiel soll eine Führung konstruiert werden, d.h. das Teil B soll auf einer geradlinigen Bahn in nur einer Richtung bewegt werden. Der zulässige Freiheitsgrad dieser Paarung ist also f = 1.

Bild: Beispiele Führungen

Für die Translation existiert in nur einer Richtung kein elementares Flächenpaar. Die Paarung Ebene-Ebene mit 3 Unfreiheiten und 3 Freiheiten kann als Ausgangsbasis für eine Führung benutzt werden (Darstellung a).

Da sie nicht die geforderten Vorgaben von u = 5 erfüllt, müssen noch 2 Freiheiten eingeschränkt werden. Dies kann durch zusätzliche Flächen (seitliche Begrenzungen) realisiert werden, wie in Abbildung b dargestellt.

Für die gesamte Paarung der beiden Körper bedeutet das, dass in die Rechnung drei einzelne Paarungen Ebene-Ebene eingehen. Das ergibt in der Summe die Zahl von 9 vorhandene Unfreiheiten, also 4 Unfreiheiten mehr, als für dieses technische System gefordert sind, es ist vierfach überbestimmt. Die Folge davon sind entsprechend hohe Forderungen an die Toleranzen und damit auch an die Fertigung.

Die im Bild eingezeichneten Winkel αA, αB, βA und βB unterliegen dem angegebenen Gleichheitskriterium. Bereits geringfügige Winkelabweichungen bei beiden Elementen könnten zum Versagen der Funktion, also zu einer Verklemmung oder Verkantung führen. Weiterhin müssen die Schnittlinien s1 und s2 beider Elemente parallel verlaufen. Insgesamt müssen also 4 zusätzliche Bedingungen bei der Produktion eingehalten werden.

Eine Möglichkeit, diese Gleichheitskriterien technisch umzusetzen wäre, beide Elemente gemeinsam zu bearbeiten. Dabei könnten z.B. die Flächen, die später miteinander in Kontakt stehen sollen, mit dem gleichen Werkzeug und in der gleichen Spannvorrichtung hergestellt werden.

Angesichts dieses nicht unerheblichen Fertigungsaufwandes stellt sich allerdings die Frage, ob eine andere Führung kostengünstiger, also mit weniger Forderungen herzustellen wäre. Dafür müssen aber die Überbestimmtheiten beseitigt werden.

Die Paarung in Abbildung c veranschaulicht, wie das realisiert werden kann. Die ungünstigen Seitenführungen mit den hohen Unfreiheiten werden durch zwei Paarungen Ebene-Kugel ersetzt,. die nur mit je einer Unfreiheit ausgestattet sind. Die Auflagefläche wird beibehalten und somit auch die Anzahl dieser Unfreiheiten. Wenn nun die beiden Paarungen mit jeweils einer Unfreiheit und die Paarung der Auflagefläche zusammenaddiert werden, so erhält man die angestrebten fünf Unfreiheiten. Zur Aufrechterhaltung der Paarung müssen jedoch konstruktiv noch Sicherungskräfte F aufgewendet werden.
Da jetzt Punktberührungen vorliegen, muss der Verschleiß minimal gehalten werden, was durch eine geschickte Werkstoffauswahl ermöglicht werden kann. Konstruktiv würde sich eine drehbare Lagerung der Kugeln anbieten.

Bei Lagerungen dominieren Zylinderpaarungen. Die Verbindung in Darstellung a, hat einen Freiheitsgrad von f = 2 und besitzt also 4 Unfreiheiten. Ziel ist ein Freiheitsgrad von f = 1 (Rotation) und dementsprechend fünf Unfreiheiten.

Bild: Zylinderlagerung

Bei der Darstellung b wird das Wellenende durch zwei Sicherungsringe in Nuten fixiert. Axial wirkende Kräfte können nun durch diese Sicherungsringe aufgenommen werden. Durch die Addition der Unfreiheiten der einzelnen, beteiligten Flächenpaarungen ergibt sich auch hier wieder die gesamte Unfreiheit für diese Elementenpaarung. Durch den Einsatz der Sicherungsringe gehen zwei zusätzliche Paarungen Ebene-Ebene mit einem jeweiligen Grad der Unfreiheit von 3 in die Rechnung ein. Dazu kommt die Paarung Zylinder-Zylinder mit einer Unfreiheit von 4. Im Ergebnis ergibt das für diese Elementenpaarung 10 Unfreiheiten. Somit ist diese Paarung 5-fach überbestimmt und es werden wieder erhebliche Forderungen an die Fertigung gestellt werden müssen.

In einer praktikablen Lösung sollten axiale Kräfte möglichst nicht durch derartige Paarungen aufgenommen werden. Als Ergebnis bieten sich die beiden Konstruktionen (Darstellungen c und d) an.

Die eine fehlende Unfreiheit gegenüber Darstellung a wurde durch eine Paarung Kugel-Ebene ersetzt und damit ist die gestellte Forderung von nur einer Unfreiheit erfüllt.

In Darstellung d ist der rotatorische Freiheitsgrad durch eine Drehsicherung beseitigt.

Die Zielstellung ist also immer, eine Paarung zu realisieren, die möglichst wenige, fertigungstechnische Einschränkungen mit sich bringt. Grundsätzlich sind Überbestimmtheiten zu Minimieren oder gänzlich zu vermeiden. Dafür bieten sich die Paarungen Ebene-Kugel oder Kugel-Kugel an.

Besonders bei der Produktion in großen Stückzahlen ist das Problem der Überbestimmtheiten ein nicht unerheblicher Kostenfaktor.

Im Bild ist ein einfacher Mechanismus dargestellt. Das gesamte technische Gebilde besteht aus 3 Elementen : einer Auflagefläche (1), einem Excenter (3) mit Lagerung und einem Element (2), das horizontal bewegt werden soll. Die Lagerung des Excenters sowie die Führung von Element (2) sind zwangfrei mit je f = 1 ausgeführt.

Die Kopplung zwischen dem ballig ausgeführten Excenter und dem Element (2) ist eine Punktberührung.

Der Mechanismus soll die rotatorische Antriebsbewegung in eine translatorische Abtriebsbewegung überführen.

Bild: Mechanismus

Verallgemeinert ist festzustellen :
Für ein zusammenhängendes technisches Gebilde, bestehend aus n Einzelteilen, sind in der Regel n-1 Paarungen erforderlich.
Wenn für die Kombination der Teile feste Verbindungen (uvorh = 6) verwendet würden und keine Überbestimmtheiten zugelassen werden sollen (ü = 0), ergibt sich aus der bereits bekannten Beziehung

uzul = 6 und somit gilt für das n-teilige Gebilde mit n-1 Paarungen

Bei einer festen Verbindung existiert jedoch keine Freiheit mehr, es kann sich nichts mehr bewegen. Um die Funktion des Gebildes sicherzustellen, müssen aber bestimmte Freiheitsgrade offen bleiben. Im vorliegenden Beispiel (siehe Bild) ist das der Getriebefreiheitsgrad von F = 1, nämlich die Bewegung des Elementes (2).

Übertragen auf den zuvor genannten Zusammenhang für Σuzul heißt das, dass die Anzahl zugelassenen Freiheiten (F) von der Summe der zulässigen Unfreiheiten abgezogen wird.

Im Beispiel (siehe Bild) ergibt das ein Ergebnis von 11 zulässige Unfreiheiten.
Werden nun demgegenüber die Elementenpaarungen betrachtet, d.h. an welchen Koppelstellen wie viele Unfreiheiten vorhanden sind, so ergibt sich die vorhandene Unfreiheit des Gesamtgebildes aus der Summe der einzelnen Unfreiheiten der Koppelstellen.
Im Beispiel für n = 3:

Das ergibt in der Summe für die Anordnung im Beispiel ebenfalls die Zahl 11. Der Mechanismus ist zwangfrei.

Würde das Excenterrad nicht mit einem kugeligen Element, sondern beispielsweise mit einer zylindrischen Oberfläche versehen, wäre diese Paarung Zylinder-Ebene mit 2 Unfreiheiten behaftet (u3 = 2). Die Summe der vorhandenen Unfreiheiten würde 12 ergeben und somit wäre die gesamte Anordnung einfach überbestimmt.

Abschließend sei noch auf den Sonderfall der Gewindepaarung hingewiesen. Die Paarung Mutter-Schraube besitzt eine translatorische und eine rotatorische Bewegungskomponente. Da beide Bewegungen jedoch bahngebunden sind, gibt es nur eine Bewegungsfreiheit f = 1, also die Schraubenbewegung.

Bild: Schraubenverbindung

Im Konstruktionsprozess gelten bestimmte Regeln, um diese Überbestimmtheiten zu beherrschen. Die Zielsetzung, keine Überbestimmtheiten zuzulassen (ü = 0), wäre für die Fertigung am günstigsten. Es könnten relativ große Toleranzen zugelassen werden und die Fertigungskosten wären somit bedeutend geringer.
Häufig sind dafür Linien- und Punktberührungen erforderlich, die als Nachteil hohen Verschleiß, hohe Flächepressung und geringe Steifigkeiten aufweisen.
Somit ist die Bedingung ü = 0 in der Praxis nur selten einzuhalten. Es müssen bei der Zulassung von Überbestimmtheiten andere Wege gesucht werden, um die Funktion des technischen Gebildes zu sichern.

Die erste Möglichkeit besteht darin, die Forderungen an die Fertigungsgenauigkeiten drastisch zu erhöhen. Durch die Einschränkung der Toleranzbereiche kann der in der Fertigung auftretende Fehler weitestgehend minimiert werden. Je größer aber der verbleibende Fehler dann ist, desto größer sind die auftretenden unerwünschten Kräfte, welche die Funktionstüchtigkeit behindern und zu einem erhöhten Verschleiß führen können. Kleine Toleranzen verursachen außerdem sehr hohe Fertigungskosten.

Bei der zweiten Möglichkeit wird davon ausgegangen, dass durch eine gemeinsame Bearbeitung der Teile, die später gefügt werden sollen, die engen Toleranzen eingehalten werden können (z.B. gemeinsames Bohren von Teilen).

Eine weitere Möglichkeit ist, die einzelnen Teile justierbar miteinander zu verbinden, d.h. die für die Funktion der Verbindung notwendigen engen Toleranzen werden erst beim Fügen der Teile durch Nachstellen erzeugt. Solche zusätzlichen Justiermechanismen erfordern aber auch einen zusätzlichen Aufwand, der das Produkt in seiner Fertigung verteuert.

Schließlich besteht die Möglichkeit, die Verbindung in einer elastischen Bauweise auszuführen. Damit stellen sich die Toleranzen selbständig ein und die Funktionstüchtigkeit wird garantiert.

Zusammenfassend lassen sich Überbestimmtheiten beherschen durch:

1. Beseitigen der Überbestimmtheiten: ü = 0

2. Zulassen von ü > 0 und

  • Einhaltung enger Toleranzen
  • gemeinsame Bearbeitung
  • Justieren
  • elastische Bauweise

Nachdem die erste wesentliche Eigenschaft mechanischer Elementepaarungen, der Freiheitsgrad, beschrieben wurde, soll im Folgenden als eine weitere Eigenschaft von Paarungen, die Art der Berührung bei Belastung, diskutiert werden. Dazu sind im Bild drei Beispiele vorgegeben. Nach der Art der Berührung der Flächen wird in Flächen-, Linien- und Punktbelastungen unterschieden.

Tabelle: Eigenschaften mechanischer Koppelstellen
Elementenpaar Berührungs-
geometrie
(idealisiert)
Berührungsfläche
bei Belastung
Deformation
Fläche Tragzonen gering
Linie Rechteck mittel
Punkt Kreis hoch

Bei der Paarung Ebene-Ebene können große Kräfte aufgenommen werden, die sich auf eine große Fläche verteilen und dadurch keine großen Nachteile nach sich ziehen. In der Praxis treten bei Flächen immer Unebenheiten auf, sodass nur bestimmte Tragzonen die Kräfte übertragen. Zahl und Größe dieser Zonen wachsen bei höherer Belastung.

Bei der Paarung Zylinder-Ebene, entsteht eine linienförmige Berührungsgeometrie. Bei einer Krafteinwirkung kann die Geometrie dieser Linie nicht beibehalten werden, sondern es ergibt sich auf Grund der eintretenden Deformation ein Rechteck als Berührungsfläche.

Die Elementepaarung Kugel-Ebene besitzt theoretisch eine punktförmige Berührungsstelle. Diese wird ebenfalls nicht beibehalten, wenn auf die Kugel eine Kraft wirkt. Infolge der Deformation ergibt sich eine kreisförmige Berührungsfläche.

Die Form der Berührungsflächen hängt also immer von der Geometrie der zu paarenden Elemente ab. Die Größe der Berührungsflächen steht im direkten Zusammenhang mit der Größe der Kräfte bzw. Belastungen, die an den einzelnen Flächenpaarungen übertragen werden. Aus der Form Berührungsflächen und der Größe der Kräfte resultiert letztendlich die Form und Größe der Deformation.

Allgemein gilt also:
Je größer die Berührungsfläche einer Paarung ist, desto kleiner wird die Belastung (auch Flächenlast oder Flächenpressung P) P = F / A.

Je mehr Auflagepunkte es gibt und je größer damit die Auflagefläche ist, umso geringer wird die Deformation sein.

In der Praxis dienen diese Überlegungen z.B. dazu das Verschleißverhalten und die Tragfähigkeit von Elementepaarungen zu beurteilen.

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