Vertiefende C-Techniken > Finite Elemente Methode (FEM) > Inhaltsverzeichnis > Mechanische Grundlagen > Grundgleichungssysteme / Lösungsansätze  

Um diese Gleichungssysteme zu lösen können zwei Methoden verwendet werden:

  • Variationsprinzip (Prinzip der virtuellen Arbeit)
  •  Methode des gewichteten Restes

Das Variationsprinzip nutzt insbesondere das Prinzip der virtuellen Arbeit, das aussagt:

"Ein elastischer Körper ist unter gegebenen äußeren Kräften im Gleichgewicht, wenn die äußere virtuelle Arbeit gleich der inneren virtuellen Arbeit ist."

                                                           δWi = δWa

Äußere virtuelle Arbeit: die Arbeit der äußeren Kräfte mit ihren virtuellen (kinematisch möglichen und die Randbedingungen nicht verletzenden) Verschiebungen.

Innere virtuelle Arbeit: die Arbeit der inneren Spannungen, die mit den virtuellen Verzerrungen geleistet wird.

Bild: Variationsprinzip

Nach Gleichsetzung der äußeren und inneren virtuellen Arbeit:

                                   v∫δεt · σdV = δut · F + v∫δut · pdV + 0∫δut · qd0

Nach Einführen der Gleichungen des Werkstoffgesetzes und der kinematischen Verträglichkeit, der Formfunktionsmatrix G und des Knotenverschiebungsvektors d:

                            v∫(D · G)t · E · (D · G)dV · d = Gt · F + vGt · pdV + 0Gt · qd0

Das Integral auf der linken Seite ist eine Steifigkeit, so kann verkürzt geschrieben werden:

                                                             k · d = p

Bei der Methode des gewichteten Restes nimmt man eine Differenzialgleichung, in der für die Unbekannte ein Ansatz gemacht wird und man für das Integral des Restes verlangt, dass es möglichst klein wird. Bei der FEM wird diese Methode für die Differenzialgleichung des Gleichgewichts übertragen, so entsteht nach Einführen der Formfunktionsmatrizen die Gleichung:

                                     v∫(D · G)t · E · (D · G)dV · d + vGt · pdV = 0

Die finite Gleichung kann analog wie vorher abgeleitet und folgend geschrieben werden:

                                                             k · d = p

Impressum- Kontakt- Sitemap- Datenschutz- AGB- Nutzungsbedingungen- © 2018 TEDATA GmbH INGGO V 3.4.0