Technische Gestaltung > Grundlagen der Gestaltung > Grundlagen/Einführung > Formelemente mechanischer Bauelemente
Im Bild ist eine Übersicht über die geometrischen Grundelemente zusammengestellt.
Ein Körper lässt sich strukturell in Teil- oder Grundkörper zerlegen. Typische Volumenelemente sind Quader, Kugel, Kegel und Zylinder. Ebenso kann man zunächst die Oberflächen betrachten, für deren Beschreibung Flächenelemente wie das Rechteck, die Kreisfläche, die Zylinderfläche oder die Kugeloberfläche genutzt werden.
Die nächst niedrigere Form der Beschreibung ist die, durch Linienelemente. Mit ihnen können die Begrenzungskanten der Flächenelemente beschrieben werden. Es handelt sich dabei um die Gerade, den Kreis oder die beliebig gekrümmte Polylinie. Die unterste Ebene für eine geometrische Beschreibung ist der Punkt.
Diese Elemente sind das Arbeitsmaterial jedes Konstrukteurs, der Bauteile gestaltet.
Ein Bauteil ist in geometrische Grundkörper zerlegbar. Die Begrenzung der Körper erfolgt durch elementare geometrische Flächen und Kanten. Jedes Bauelement besitzt derartige Formelemente.
Im Beispiel wird dargestellt, aus welchen Formelementen ein Lagerbolzen aufgebaut ist:
Als erstes Formelement ist der Kegel erkennbar, an den sich ein Zylinder anschließt. Dann folgt noch ein Zylinder, jedoch diesmal mit einem Gewinde ausgestattet und der angefaste Teil dieses Zylinders ist ein abgewandeltes Grundelement, ein Kegelstumpf. Das letzte Formelement ist der Schlitz in Form eines ausgeschnittenen Volumenelementes, dass wiederum aus einem Prisma und zwei Zylindersegmenten besteht.
Die Tabelle zeigt, welche Parameter für die Beschreibung der einzelnen Elemente nötig sind. Die Ebene hat die Parameter Länge und Breite. Für den Zylinder werden die Parameter Länge und Durchmesser benötigt und bei der Kugel ist es nur der Radius oder der Durchmesser.
Für die Beschreibung des Kegels ergeben sich mehrere Parameterkombinationen; entweder der Durchmesser der Grundfläche und die Höhe des Kegels oder die Höhe und der Scheitelwinkel oder den Durchmesser und den Scheitelwinkel der Spitze; ebenso wäre die Verwendung des Basiswinkels möglich.
Im Bild sind die Wirkflächen einer Linse dargestellt.
Die Hauptfunktion der Linse ist die Lichtbrechung, wozu sphärische Flächen benötigt werden. Unser Beispiel zeigt eine Negativlinse, bei der die Oberflächen konkav gekrümmt sind und somit der eingezeichnete Strahlenverlauf realisiert werden kann.
Der Glaskörper mit der notwendigen Brechzahl n ist erforderlich, um die Hauptfunktion zu erfüllen. Die Wirkflächen und der Werkstoff Glas bilden zusammen den Wirkkörper.
Zusätzlich müssen noch bestimmte Nebenfunktionen umgesetzt werden. Die Linse muss zentriert werden, dass heißt sie muss im Gesamtsystem des technischen Gebildes richtig positioniert werden. Um diese Position zu fixieren, muss sie im Gerät gefasst werden.
Zum Zentrieren (radiale Fixierung) wird die Zylinderfläche, durch welche die Linse am Rand begrenzt wird, benutzt. Die Arretierung nach oben wird durch eine Phase realisiert (Kegelfläche). Durch diesen Konus werden gleichzeitig die scharfen Kanten vermieden, die am Übergang von der sphärischen Fläche zur Zylinderfläche entstehen würden.
An der Unterseite der Linse wird die Planfläche als Stützfläche in axialer Richtung benutzt. Durch die Kombination dieser Flächen wird die Lage der Linse eindeutig definiert.
Formelemente können bezüglich ihrer Beteiligung am Funktionsfluss differenziert werden. Ein Einzelteil besitzt somit ausgezeichnete Flächen, die zur Realisierung bestimmter Funktionen spezifisch gestaltet sind. Sie heißen Wirkflächen.
Der Vorteil des Aufbaus mechanischer Bauelemente aus einfachen geometrischen Elementen, wie Zylinder, Kugel und Kegel liegt in ihrer einfachen Fertigung. So lassen sich rotationssymetrische Flächen leicht durch Drehen herstellen und sind somit in der Herstellung günstig.
Auch für die Erzeugung ebener Flächen existieren effektive Fertigungsverfahren, wie Fräsen, Schleifen, Hobeln oder Walzen. Ein weiterer Grund für die Verwendung einfacher Formen ist die leichtere Prüfbarkeit, da nur wenige Parameter überwacht werden müssen. Für den Konstrukteur bieten sich diese Formen an, weil sie einfacher und somit schneller darstellbar und berechenbar sind. Hinzu kommt die einfachere Formalisierung und Modellierung, bei der ebenfalls nur wenige Parameter nötig sind, um eine rechnergestützte Darstellung zu ermöglichen. Diese Parameter können durch analytische Funktionen beschrieben werden.
Nun ist die Frage zu untersuchen, ob geometrische Grundelemente ausreichend sind, um alle technischen Anforderungen zu erfüllen.
Am Beispiel einer zu dimensionierenden Welle soll untersucht werden, ob geometrische Grundelemente ausreichend sind, um alle technischen Anforderungen an ein mechanisches Bauteil zu erfüllen.
Im Bild ist eine Welle dargestellt, die zwischen zwei Lagern, einem Los- und einem Festlager, abgestützt ist. Auf diese Welle wirkt im Abstand a vom Festlager, bzw. im Abstand b vom Loslager eine Kraft F, welche die Welle auf Biegung beansprucht.
Wbx - Widerstandsmomen am Pkt. x
σbzul - zulässigen Biegespannung
Mbx - Biegemoment am Pkt. x
Es besteht nun die Aufgabe den Querschnitt der Welle am Punkt x (Krafteinleitungspunkt) zu ermitteln. Zur Berechnung können die im Bild aufgeführten Formeln verwendet werden. Als Parameter werden die Belastung (F) und die beiden Abstände zu den Lagern (a und b) benötigt. Während das Widerstandsmoment Wbx und das Biegemoment Mbx rein geometrieabhängige Parameter sind, handelt es sich bei der zulässigen Biegespannung σbzul um einen werkstoffabhängigen Parameter.
Die Welle wird an der Stelle der Krafteinleitung der größten Beanspruchung ausgesetzt und benötigt somit an dieser Stelle den größten Durchmesser.
Wenn die Formel
nun auf alle Punkte der Welle übertragen wird, ergeben sich daraus die im Bild angegebenen Formeln [7a] und [7b].
Wbx - Widerstandsmomen am Pkt. x
σbzul - zulässigen Biegespannung
Mbx - Biegemoment am Pkt. x
Wird das Ergebnis dieser Berechnungen grafisch dargestellt (siehe nachfolgende Bilder), ergibt sich daraus die Form einer kubischen Parabel als Körper gleicher Biegebeanspruchung mit Kreisquerschnitt. Theoretisch müsste die Achse oder Welle so geformt sein, dass diese kubische Parabel an keiner Stelle angeschnitten wird.
Um diesen tatsächlich notwendigen Durchmesserverlauf sichtbar zu machen, wurde ein Berechnungsprogramm verwendet.
Die Biegespannung und der daraus resultierende Durchmesser sind an der Stelle der Krafteinwirkung tatsächlich am größten. Dagegen ist er an den Lagerstellen Null, da dort keine Biegung auftreten kann.
Die Rechnerauswertung bestätigt, dass sich die optimale Form der Welle als kubische Parabel ergibt. Sie hätte somit das geringste Materialvolumen und damit auch die kleinste Masse. Das eine Welle so nicht konstruiert und nur schwierig hergestellt werden kann, steht außer Frage.
Eine Gestaltungsmöglichkeit wäre es, den Durchmesser der Welle gleichbleibend so groß zu wählen, wie an der, am höchsten belasteten Stelle (siehe Bild 1: Schritt).
Auf diese Weise wird jedoch sehr viel Material verschwendet, abgesehen von dem benötigten Montageraum. Es gilt also zu überlegen, wie diese Welle durch die Anwendung einfacher Volumenelemente besser gestaltet werden kann.
Bei der Verwendung mehrerer Zylindervolumina würde sich eine Abstufung ergeben (siehe Bild 2: Schritt)
Forderung ist jedoch auch hier wieder, dass der jeweilige Mindestdurchmesser nicht unterschritten wird. Wenn in Bezug auf die Fertigung davon ausgegangen wird, dass diese Abstufungen nicht beliebig häufig eingesetzt werden können, bleibt auch hier noch "toter" Werkstoff, der für die Festigkeit nicht benötigt wird.
Eine weitere Möglichkeit besteht in der Anwendung kegelartige Grundformen (siehe Bild 3: Schritt):
Dabei ist aber bei der Verbindung der Zylinder, also im Bereich zwischen Lager und der Stelle der größten Belastung, eine Unterschreitung des benötigten Mindestdurchmessers festzustellen. Die Welle würde der anliegenden Beanspruchung nicht mehr genügen. Die Kegel müssen also so gestaltet werden, dass der minimale Durchmesser immer innerhalb der Kontur liegt (siehe Bild 4: Schritt).
Die am Beispiel der Welle diskutierten Gestaltungsmöglichkeiten sind nicht auf alle technischen Bauteile übertragbar. Die berechnete kubische Parabel stellt eine nichtlineare Form dar, die bezüglich der Festigkeit und Stoffausnutzung optimal ist. Aus Sicht der Fertigung ist sie aber die komplizierteste und somit auch die teuerste Variante. Deshalb muss ein Kompromiss zwischen geometrisch einfacher Gestaltung und der physikalisch notwendigen und günstigen Form gefunden werden. Demgegenüber gibt es aber auch Bauteile, bei denen eine solche Approximation nichtlinearer Funktionsflächen durch geometrisch einfache Grundflächen nicht realisiert werden kann. Solche Formen, die genau nach den physikalischen Gegebenheiten gebaut werden müssen, findet man unter anderem bei Tragflächen von Flugzeugen, bei Propellern oder im Schiffbau, also vorwiegend Bauteile die strömungsdynamischen Einflüssen unterliegen. Aber auch ergonomische und ästhetische Funktionen lassen sich nicht allein durch geometrische Grundelemente realisieren. Es muss also immer ein Kompromiss zwischen kostengünstiger Fertigung und der funktionell notwendigen Form gefunden werden.